微分積分例

$5 x - 4 \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x - 4 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \ln (x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$5 - 4 \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$5 + \frac{- 4}{x}$

ステップ 1.1.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$5 - \frac{4}{x}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4}{x} + 5$ です。

$- \frac{4}{x} + 5$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4}{x} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4}{x} + 5 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- \frac{4}{x} = - 5$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2.4

$- \frac{4}{x} = - 5$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$- \frac{4}{x} = - 5$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{4}{x} x = - 5 x$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- \frac{4}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 4 = - 5 x$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- 5 x = - 4$ として書き換えます。

$- 5 x = - 4$

ステップ 2.5.2

$- 5 x = - 4$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- 5 x = - 4$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 5}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{4}{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{4}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 x - 4 \ln (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{4}{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{4}{5}$ を $x$ に代入します。

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

ステップ 4.1.2.1.2

式を書き換えます。

$4 - 4 \ln (\frac{4}{5})$

ステップ 4.1.2.2

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (\frac{4}{5})$ を簡約します。

$4 - \ln ({(\frac{4}{5})}^{4})$

ステップ 4.1.2.3

積の法則を $\frac{4}{5}$ に当てはめます。

$4 - \ln (\frac{4^{4}}{5^{4}})$

ステップ 4.1.2.4

$4$ を $4$ 乗します。

$4 - \ln (\frac{256}{5^{4}})$

ステップ 4.1.2.5

$5$ を $4$ 乗します。

$4 - \ln (\frac{256}{625})$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$5 (0) - 4 \ln (0)$

ステップ 4.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{4}{5}, 4 - \ln (\frac{256}{625}))$

ステップ 5

微分積分 例

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