微分積分例

$\sec (\sin^{-1} (u))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\sin^{-1} (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\sin^{-1} (u))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

ステップ 4.6

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ を $(1 + u) (1 - u)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

ステップ 4.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 5

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 6

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 7

$a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

ステップ 8

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

ステップ 8.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

ステップ 8.2.2

積の法則を $(1 + u) (1 - u)$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ を $(1 + u) (1 - u)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.1.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.1.5

簡約します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.2.2

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.2.3

分配則を当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1.5.1

$u$ を移動させます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.3.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$1 + u$ を ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

ステップ 8.4.3

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.5

$1 - u$ と ${(1 - u)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$1$ を掛けます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

ステップ 8.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

$1 - u$ を $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

ステップ 8.5.2.2

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

ステップ 8.5.2.3

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.6

$0$ と $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.7

$\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.9

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.10

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.10.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.10.3

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 8.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

ステップ 8.10.6

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ を $(1 + u) (1 - u)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.10.6.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 8.10.6.5

簡約します。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 9

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 10

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ と $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ の値を代入します。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$

微分積分 例

微分積分例