微分積分例

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

ステップ 2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 4.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

最終解は $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

ステップ 7

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1

$3$ を $3 x^{2} - 12 x - 96$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

ステップ 7.1.2

$3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

ステップ 7.1.3

$3$ を $- 96$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

ステップ 7.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

ステップ 7.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

ステップ 7.2

因数分解。

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ステップ 7.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 32$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $- 4$ です。

$- 8, 4$

ステップ 7.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

ステップ 7.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 9

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 10

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 11

最終解は $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 4$

ステップ 12

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

$x = 8, - 4$

ステップ 13

解をまとめます。

$x = \frac{1}{3}, - 1, 8, - 4$

ステップ 14

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ の定義域を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{3 x^{2} - 12 x - 96}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x^{2} - 12 x - 96 = 0$

ステップ 14.2

$x$ について解きます。

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ステップ 14.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 14.2.1.1

$3$ を $3 x^{2} - 12 x - 96$ で因数分解します。

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ステップ 14.2.1.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 12 x - 96 = 0$

ステップ 14.2.1.1.2

$3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 96 = 0$

ステップ 14.2.1.1.3

$3$ を $- 96$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

ステップ 14.2.1.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32 = 0$

ステップ 14.2.1.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 32$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

ステップ 14.2.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 32$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $- 4$ です。

$- 8, 4$

ステップ 14.2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 8) (x + 4)) = 0$

ステップ 14.2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 8) (x + 4) = 0$

ステップ 14.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 14.2.3

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.3.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 14.2.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 14.2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 14.2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 14.2.5

最終解は $3 (x - 8) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 4$

ステップ 14.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 15

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 8$

$x > 8$

ステップ 16

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 16.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 16.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{3 {(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 1}{3 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 96} \geq 0$

ステップ 16.1.3

左辺 $1.13095238$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 16.2

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

区間 $- 4 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 16.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{3 {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 1}{3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 96} \geq 0$

ステップ 16.2.3

左辺 $- 0.11\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 16.3

区間 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.3.1

区間 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 16.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1}{3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 96} \geq 0$

ステップ 16.3.3

左辺 $0.01041\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 16.4

区間 $\frac{1}{3} < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

区間 $\frac{1}{3} < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 16.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 1}{3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 - 96} \geq 0$

ステップ 16.4.3

左辺 $- 0.57291\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 16.5

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 16.5.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 16.5.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{3 {(10)}^{2} + 2 (10) - 1}{3 {(10)}^{2} - 12 \cdot 10 - 96} \geq 0$

ステップ 16.5.3

左辺 $3.79761904$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 16.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ 真

$\frac{1}{3} < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ 真

$\frac{1}{3} < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

ステップ 17

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $- 1 \leq x \leq \frac{1}{3}$ または $x > 8$

ステップ 18

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 4) \cup [- 1, \frac{1}{3}] \cup (8, \infty)$

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例