微分積分例

$\int \frac{\arccos (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \arccos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ すると、 $1 d u_{2} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \arccos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\arccos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\arccos (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\arccos (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 2$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

$- \frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5

$u_{2}$ のすべての発生を $\arccos (2 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} {\arccos (2 x)}^{2} + C$

微分積分 例

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