微分積分例

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

ステップ 1

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x + 4$ および $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x^{2} - 5 x - 36$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

総和則では、 $x^{2} - 5 x - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.11

$2 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 4) (2 x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.1.6

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.1.3.2

$5 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.3

$- 5 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2.4

$- 36$ と $20$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$- 8$ を $- 4$ プラス $- 4$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.3

最大公約数 $- x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x - 36$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 36$ で、その和が $- 5$ です。

$- 9, 4$

ステップ 2.1.3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4.2

積の法則を $(x - 9) (x + 4)$ に当てはめます。

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.4

$- (x + 4)$ を $- 1 (x + 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.5

$x + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.6

$x + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

${(x + 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ を ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2

${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 9$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 9$ で置き換えます。

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.7.1

$\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

ステップ 2.2.4.7.2

$2 {(x - 9)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.2

$2$ と $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ です。

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 3.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例