微分積分例

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

ステップ 1

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \sin (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.1.3.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.3.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ です。

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 3.3

$2 \sin (x)$ を $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$2 \sin (x)$ を $- 6 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 3.3.2

$2 \sin (x)$ を $- 8 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

ステップ 3.3.3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3.5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 3.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 3.5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.6

$- 3 - 4 \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$- 3 - 4 \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- 4 \cos (x) = 3$

ステップ 3.6.2.2

$- 4 \cos (x) = 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1

$- 4 \cos (x) = 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

ステップ 3.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

ステップ 3.6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

ステップ 3.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

ステップ 3.6.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

ステップ 3.6.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.4.1

$\arccos (- \frac{3}{4})$ の値を求めます。

$x = 2.4188584$

ステップ 3.6.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

ステップ 3.6.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 3.6.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

ステップ 3.6.2.6.2

$2 (3.14159265) - 2.4188584$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

ステップ 3.6.2.6.2.2

$6.2831853$ から $2.4188584$ を引きます。

$x = 3.8643269$

ステップ 3.6.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.6.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.7

最終解は $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ で代入して求めた点は、 $(,)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(,)$

ステップ 4.2

$2.4188584$ を $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $2.4188584$ で置換えます。

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2$ に $2.4188584$ をかけます。

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

ステップ 4.2.2.2

最終的な答えは $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ です。

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

ステップ 4.3

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ で代入して $2.4188584$ 求めた点は、 $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

ステップ 4.4

$3.8643269$ を $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $3.8643269$ で置換えます。

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$2$ に $3.8643269$ をかけます。

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

ステップ 4.4.2.2

最終的な答えは $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ です。

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

ステップ 4.5

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ で代入して $3.8643269$ 求めた点は、 $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

ステップ 4.6

変曲点になりうる点を判定します。

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty,)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ です。

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $1.39367782$ です。これは正の値なので、 $(- \infty,)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty,)$ で増加

ステップ 7

区間 $(, 2.4188584)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.2094292$ で置換えます。

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $1.2094292$ をかけます。

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ です。

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

ステップ 7.3

$1.2094292$ で二次導関数は $- 8.25823739$ です。これは負の値なので、 $(, 2.4188584)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(, 2.4188584)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2.4188584, 3.8643269)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.14159265$ で置換えます。

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

ステップ 8.2.2

最終的な答えは $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ です。

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

ステップ 8.3

$3.14159265$ で二次導関数は $2.44929359 E - 16$ です。これは正の値なので、 $(2.4188584, 3.8643269)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2.4188584, 3.8643269)$ で増加

ステップ 9

区間 $(3.8643269, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $3.9643269$ で置換えます。

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ に $3.9643269$ をかけます。

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

ステップ 9.2.2

最終的な答えは $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ です。

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

ステップ 9.3

$3.9643269$ で二次導関数は $0.40919742$ です。これは正の値なので、 $(3.8643269, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3.8643269, \infty)$ で増加

ステップ 10

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ です。

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例