微分積分例

$x^{2} - \sin (2 x)$

ステップ 1

$x^{2} - \sin (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} - \sin (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 x - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 x - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 x - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x - (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.1.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 x - (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 2.1.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 2 x - 2 \cos (2 x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 x - 2 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (2 x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.3.7

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 4 \sin (2 x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 + 4 \sin (2 x)$ です。

$2 + 4 \sin (2 x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 + 4 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 + 4 \sin (2 x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$4 \sin (2 x) = - 2$

ステップ 3.3

$4 \sin (2 x) = - 2$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 \sin (2 x) = - 2$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{- 2}{4}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{2 (- 1)}{4}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$2 x = - \frac{π}{6}$

ステップ 3.6

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.6.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

ステップ 3.6.3.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = - \frac{π}{12}$

ステップ 3.7

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 3.8

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 3.8.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 3.8.3

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 3.8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 3.8.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 3.8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.8.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 3.8.3.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{12}$

ステップ 3.9

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.9.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.9.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.10

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$π$ を $- \frac{π}{12}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{12} + π$

ステップ 3.10.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 3.10.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.3.1

$π$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 3.10.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

ステップ 3.10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.4.1

$12$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

ステップ 3.10.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{12}$

ステップ 3.10.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{12}$

ステップ 3.11

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{7 π}{12}$ を $f (x) = x^{2} - \sin (2 x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{12}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{12}) = {(\frac{7 π}{12})}^{2} - \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $\frac{7 π}{12}$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $7 π$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

ステップ 4.1.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

ステップ 4.1.2.1.3

$12$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

ステップ 4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} - \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} + \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.1.7

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.2

最終的な答えは $\frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$ です。

$\frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{2} - \sin (2 x)$ で代入して $\frac{7 π}{12}$ 求めた点は、 $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.3

$\frac{11 π}{12}$ を $f (x) = x^{2} - \sin (2 x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{11 π}{12}$ で置換えます。

$f (\frac{11 π}{12}) = {(\frac{11 π}{12})}^{2} - \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1.1

積の法則を $\frac{11 π}{12}$ に当てはめます。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

ステップ 4.3.2.1.1.2

積の法則を $11 π$ に当てはめます。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

ステップ 4.3.2.1.2

$11$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12^{2}} - \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

ステップ 4.3.2.1.3

$12$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

ステップ 4.3.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

ステップ 4.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} - \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

ステップ 4.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} - \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.3.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} + \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 4.3.2.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.1.7

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.1.7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.2

最終的な答えは $\frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$ です。

$\frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{2} - \sin (2 x)$ で代入して $\frac{11 π}{12}$ 求めた点は、 $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.73259571$ で置換えます。

$f'' (1.73259571) = 2 + 4 \sin (2 (1.73259571))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $1.73259571$ をかけます。

$f'' (1.73259571) = 2 + 4 \sin (3.46519142)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $2 + 4 \sin (3.46519142)$ です。

$2 + 4 \sin (3.46519142)$

ステップ 6.3

$1.73259571$ で二次導関数は $0.72807759$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.35619449$ で置換えます。

$f'' (2.35619449) = 2 + 4 \sin (2 (2.35619449))$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ に $2.35619449$ をかけます。

$f'' (2.35619449) = 2 + 4 \sin (4.71238898)$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $2 + 4 \sin (4.71238898)$ です。

$2 + 4 \sin (4.71238898)$

ステップ 7.3

$2.35619449$ で二次導関数は $- 2$ です。これは負の値なので、 $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ で減少

ステップ 8

区間 $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.97979326$ で置換えます。

$f'' (2.97979326) = 2 + 4 \sin (2 (2.97979326))$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ に $2.97979326$ をかけます。

$f'' (2.97979326) = 2 + 4 \sin (5.95958653)$

ステップ 8.2.2

最終的な答えは $2 + 4 \sin (5.95958653)$ です。

$2 + 4 \sin (5.95958653)$

ステップ 8.3

$2.97979326$ で二次導関数は $0.72807759$ です。これは正の値なので、 $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$ です。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{144} + \frac{1}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{144} + \frac{1}{2})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例