微分積分例

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

ステップ 1

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.6

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.7

$- 1$ を $- (x^{2}) - (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.9

$- 1$ を $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.10

$- (x^{2} + 2 x - 1)$ を $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.8

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.2

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.2.2

$x^{2} + 1$ を $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.2.3

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.12.1

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

ステップ 2.2.12.2

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.4

$2 x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.1.6

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.2

$2 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.3

$2 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.3.4

$2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4

$2$ を $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.4.1

$2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.2

$2$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.3

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.5

$2$ を $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.6

$2$ を $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.4.7

$2$ を $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.5

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.6

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.7

$- 1$ を $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.8

$- 1$ を $3 x$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.9

$- 1$ を $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.11

$- 1$ を $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.12

$- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ を $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ に書き換えます。

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.13

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.2.13.15

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ です。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.2.1.2

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

項を再分類します。

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.5

$3 x$ を $3 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

ステップ 3.3.2.5.2

$3 x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

ステップ 3.3.2.5.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

ステップ 3.3.2.6

$x - 1$ を $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

$x - 1$ を $3 x (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

ステップ 3.3.2.6.2

$x - 1$ を $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

ステップ 3.3.2.7

$x$ と $3 x$ をたし算します。

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

ステップ 3.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 3.3.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.3.5

$x^{2} + 4 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$x^{2} + 4 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

ステップ 3.3.5.2

$x$ について $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.3

$16$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.3.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.3.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.3

$16$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.4.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.3.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 2 + \sqrt{3}$

ステップ 3.3.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.3

$16$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.5.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3.5.2.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.3.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 2 - \sqrt{3}$

ステップ 3.3.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

ステップ 3.3.6

最終解は $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

括弧を削除します。

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{2}{2}$

ステップ 4.1.2.3

$2$ を $2$ で割ります。

$f (1) = 1$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, 1)$

ステップ 4.3

$- 2 + \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 2 + \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

括弧を削除します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

ステップ 4.3.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.2.3.1.2

$- 2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.2.3.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

ステップ 4.3.2.2.3.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

ステップ 4.3.2.2.3.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.3.2.2.3.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

ステップ 4.3.2.2.3.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.2.3.3

$- 2 \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.2.4

$1$ と $7$ をたし算します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.3

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ に $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.3.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ に $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

ステップ 4.3.2.4.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4.3

簡約します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

ステップ 4.3.2.4.4

$8 + 4 \sqrt{3}$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.4.1

$4$ を $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

ステップ 4.3.2.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

ステップ 4.3.2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.3.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.3.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.3.2.5.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.2

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.3

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

ステップ 4.3.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.6.3

$- \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.3.2.7

最終的な答えは $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ です。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ で代入して $- 2 + \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

ステップ 4.5

$- 2 - \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- 2 - \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

括弧を削除します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.5.2.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ を $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.5.5

指数を求めます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

ステップ 4.5.2.2.3.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.3.3

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.2.4

$1$ と $7$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.3

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ に $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

ステップ 4.5.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.1

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ に $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

ステップ 4.5.2.4.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.5.2.4.3

簡約します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

ステップ 4.5.2.4.4

$8 - 4 \sqrt{3}$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.4.1

$4$ を $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

ステップ 4.5.2.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

ステップ 4.5.2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.5.2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.5.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.2

$- 1 (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.2.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.6.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

ステップ 4.5.2.6.1.5.5

指数を求めます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

ステップ 4.5.2.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.6.3

$\sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.5.2.7

最終的な答えは $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ です。

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ で代入して $- 2 - \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.8320508$ で置換えます。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3.8320508$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 3.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.3

$3$ に $14.68461339$ をかけます。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 3$ に $- 3.8320508$ をかけます。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.5

$- 56.2721846$ と $44.05384017$ をたし算します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.6

$- 12.21834443$ と $11.49615242$ をたし算します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.7

$- 0.722192$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 3.8320508$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$14.68461339$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$15.68461339$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $- 1.722192$ をかけます。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

ステップ 6.2.3.2

$- 3.44438401$ を $3858.526212$ で割ります。

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.00089266$ です。

$- 0.00089266$

ステップ 6.3

$- 3.8320508$ で二次導関数は $- 0.00089266$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.5

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.6

$4$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.7

$10$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

ステップ 7.2.3.2

$18$ を $125$ で割ります。

$f'' (- 2) = 0.144$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.144$ です。

$0.144$

ステップ 7.3

$- 2$ で二次導関数は $0.144$ です。これは正の値なので、 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ で増加

ステップ 8

区間 $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.3660254$ で置換えます。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.3660254$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$0.3660254$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.3

$3$ に $0.13397459$ をかけます。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.4

$- 3$ に $0.3660254$ をかけます。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.5

$0.0490381$ と $0.40192378$ をたし算します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.6

$0.45096189$ から $1.09807621$ を引きます。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.7

$- 0.64711431$ から $1$ を引きます。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.3660254$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$0.13397459$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$1.13397459$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$2$ に $- 1.64711431$ をかけます。

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

ステップ 8.2.3.2

$- 3.29422863$ を $1.4581761$ で割ります。

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 2.2591432$ です。

$- 2.2591432$

ステップ 8.3

$0.3660254$ で二次導関数は $- 2.2591432$ です。これは負の値なので、 $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ で減少

ステップ 9

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$1.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.3

$3$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.4

$- 3$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.5

$1.331$ と $3.63$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.6

$4.961$ から $3.3$ を引きます。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.7

$1.661$ から $1$ を引きます。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$1.21$ と $1$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$2.21$ を $3$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

ステップ 9.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$2$ に $0.661$ をかけます。

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

ステップ 9.2.3.2

$1.322$ を $10.793861$ で割ります。

$f'' (1.1) = 0.12247702$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $0.12247702$ です。

$0.12247702$

ステップ 9.3

$1.1$ で二次導関数は $0.12247702$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 10

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ です。

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例