微分積分例

$\frac{6 x^{5}}{5 y^{4}}$

ステップ 1

$f (x) = 6 x^{5}$ および $g (x) = 5 y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{5 y^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{5}] - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d x} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{5 y^{4} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]) - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d x} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 y^{4} (6 (5 x^{4})) - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d x} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{5 y^{4} (30 x^{4}) - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d x} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.4

$5 y^{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5 y^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 y^{4} (30 x^{4}) - 1 \cdot 6 x^{5} \cdot 0}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $5 y^{4}$ に当てはめます。

$\frac{5 y^{4} (30 x^{4}) - 1 \cdot 6 x^{5} \cdot 0}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 \cdot 30 y^{4} x^{4} - 1 \cdot 6 x^{5} \cdot 0}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$5$ に $30$ をかけます。

$\frac{150 y^{4} x^{4} - 1 \cdot 6 x^{5} \cdot 0}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{150 y^{4} x^{4} - 6 x^{5} \cdot 0}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 6 x^{5} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

$0$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{150 y^{4} x^{4} + 0 x^{5}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$0$ に $x^{5}$ をかけます。

$\frac{150 y^{4} x^{4} + 0}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$150 y^{4} x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{150 y^{4} x^{4}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{150 y^{4} x^{4}}{25 {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

${(y^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{150 y^{4} x^{4}}{25 y^{4 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{150 y^{4} x^{4}}{25 y^{8}}$

ステップ 3.3.3

$150$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$25$ を $150 y^{4} x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{25 (6 y^{4} x^{4})}{25 y^{8}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$25$ を $25 y^{8}$ で因数分解します。

$\frac{25 (6 y^{4} x^{4})}{25 (y^{8})}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25 (6 y^{4} x^{4})}{25 y^{8}}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 y^{4} x^{4}}{y^{8}}$

ステップ 3.3.4

$y^{4}$ と $y^{8}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$y^{4}$ を $6 y^{4} x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y^{4} (6 x^{4})}{y^{8}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$y^{4}$ を $y^{8}$ で因数分解します。

$\frac{y^{4} (6 x^{4})}{y^{4} y^{4}}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{4} (6 x^{4})}{y^{4} y^{4}}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 x^{4}}{y^{4}}$

微分積分 例

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