微分積分例

$\frac{6 x^{5}}{5 y^{4}}$

ステップ 1

$f (y) = 6 x^{5}$ および $g (y) = 5 y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{5 y^{4} \frac{d}{d y} [6 x^{5}] - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$6 x^{5}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6 x^{5}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.2

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 y^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 (4 y^{3}))}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 2.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{{(5 y^{4})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $5 y^{4}$ に当てはめます。

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$5 y^{4} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$0$ に $5$ をかけます。

$\frac{0 y^{4} - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

$0$ に $y^{4}$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{0 - 1 \cdot 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$- 1 \cdot 6 \cdot 20$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0 - 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$- 6$ に $20$ をかけます。

$\frac{0 - 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$0$ から $120 x^{5} y^{3}$ を引きます。

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 {(y^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

${(y^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{4 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{8}}$

ステップ 3.3.3

$- 120$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$5$ を $- 120 x^{5} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{25 y^{8}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$5$ を $25 y^{8}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 24 x^{5} y^{3}}{5 y^{8}}$

ステップ 3.3.4

$y^{3}$ と $y^{8}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$y^{3}$ を $- 24 x^{5} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{5 y^{8}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$y^{3}$ を $5 y^{8}$ で因数分解します。

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 24 x^{5}}{5 y^{5}}$

ステップ 3.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{24 x^{5}}{5 y^{5}}$

微分積分 例

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