微分積分例

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

ステップ 1

$f (v) = 2 - v^{2}$ および $g (v) = 2 + v^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ は $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 - v^{2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ です。

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $- v^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ です。

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$0$ から $2 v$ を引きます。

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $2 + v^{2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ です。

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

$2$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5

$0$ と $2 v$ をたし算します。

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

指数を足して $v^{2}$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

$v$ を移動させます。

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3.2

$v$ に $v^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.2.1

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6

指数を足して $v^{2}$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.1

$v$ を移動させます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6.2

$v$ に $v^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.6.2.1

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.7

$- - v^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.7.2

$v^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.8

$2$ を $v^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.4.2.1

$- 2 v^{3}$ と $2 v^{3}$ をたし算します。

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2

$- 4 v - 4 v$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.3

$- 4 v$ から $4 v$ を引きます。

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

ステップ 5.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例