微分積分例

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ , $x = 4$

ステップ 1

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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ステップ 2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{\sqrt{4}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.3

$2$ を $2$ で割ります。

$y = 1$

ステップ 3

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 3.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 3.8.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 3.10

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 3.11

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 3.12

$- 2$ と $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.14

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.15

共通因数を約分します。

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ステップ 3.15.1

$2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 3.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.15.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.17

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.18

分母を簡約します。

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ステップ 3.18.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.18.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 3.18.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.18.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 3.18.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2^{3}}$

ステップ 3.18.4

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 4

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 4.1

傾き $- \frac{1}{8}$ と与えられた点 $(4, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

ステップ 4.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 4.3

$y$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 4.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 4.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{8} - \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 4.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{8} \cdot - 4$

ステップ 4.3.1.5.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4$

ステップ 4.3.1.5.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 4.3.1.5.4

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 4.3.1.5.5

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.6

$\frac{- 1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- - 1}{2}$

ステップ 4.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + 1$

ステップ 4.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1 + 2}{2}$

ステップ 4.3.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 4.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{8} x) + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例