微分積分例

$y = \sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$ を ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 6 + \sec (π x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 + \sec (π x^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 + \sec (π x^{2})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

ステップ 7.3

総和則では、 $6 + \sec (π x^{2})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

ステップ 7.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$

ステップ 8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = π x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x^{2}$ とします。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

ステップ 8.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (π x^{2}) \tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$\sec (π x^{2})$ と $\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

ステップ 9.2

$\tan (π x^{2})$ と $\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [π x^{2}]$

ステップ 9.3

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x^{2}$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (π \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 9.4

$π$ と $\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{π (\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 9.6

項を簡約します。

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ステップ 9.6.1

$2$ と $\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 9.6.2

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.6.4

式を書き換えます。

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{π x \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

項を並べ替えます。

$\frac{π x \sec (π x^{2}) \tan (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例