微分積分例

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

ステップ 1

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{5}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{7}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{2} x^{4}$ の微分係数は $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.4

$4$ に $7$ をかけます。

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.5

$\frac{28}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.6

$28$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.6.1

$2$ を $28 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.3.6.2.4

$14 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$\frac{71}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{71}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.3

$3$ と $\frac{71}{3}$ をまとめます。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.4

$3$ に $71$ をかけます。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.5

$\frac{213}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.6

$213$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.6.1

$3$ を $213 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.4.6.2.4

$71 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.5

$\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

$77$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $77 x^{2}$ の微分係数は $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.5.3

$2$ に $77$ をかけます。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

ステップ 2.1.1.6

$\frac{d}{d x} [120 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $120 x$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

ステップ 2.1.1.6.3

$120$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

総和則では、 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x^{3}$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.2.3

$3$ に $14$ をかけます。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$71$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $71 x^{2}$ の微分係数は $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $71$ をかけます。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [154 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$154$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $154 x$ の微分係数は $154 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.4.3

$154$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

ステップ 2.1.2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$120$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $120$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

ステップ 2.1.2.5.2

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ です。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ を $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ を $42 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$2$ を $142 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$2$ を $154$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

ステップ 2.2.2.1.6

$2$ を $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

ステップ 2.2.2.1.7

$2$ を $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

有理根検定を用いて $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

ステップ 2.2.2.2.1.3

$- 3.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.3.1

$- 3.5$ を多項式に代入します。

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.2

$- 3.5$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.3

$2$ に $- 42.875$ をかけます。

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.4

$- 3.5$ を $2$ 乗します。

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.5

$21$ に $12.25$ をかけます。

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.6

$- 85.75$ と $257.25$ をたし算します。

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.7

$71$ に $- 3.5$ をかけます。

$171.5 - 248.5 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.8

$171.5$ から $248.5$ を引きます。

$- 77 + 77$

ステップ 2.2.2.2.1.3.9

$- 77$ と $77$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.2.2.1.4

$- 3.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

ステップ 2.2.2.2.1.5

$2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ を $2 x + 7$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} + 7 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

ステップ 2.2.2.2.1.5.7

被除数 $14 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

ステップ 2.2.2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

ステップ 2.2.2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $14 x^{2} + 49 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

ステップ 2.2.2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

ステップ 2.2.2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.12

被除数 $22 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $22 x + 77$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

ステップ 2.2.2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

ステップ 2.2.2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 7 x + 11$

ステップ 2.2.2.2.1.6

$2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ を因数の集合として書き換えます。

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

ステップ 2.2.4

$2 x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2 x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 7 = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $2 x + 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$2 x = - 7$

ステップ 2.2.4.2.2

$2 x = - 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.1

$2 x = - 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.2.5

$x^{2} + 7 x + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x^{2} + 7 x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 7$ 、および $c = 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.3.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.3.1.3

$49$ から $44$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.4.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.4.1.3

$49$ から $44$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4.5

$- 1$ を $\sqrt{5}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

ステップ 2.2.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.5.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.5.1.3

$49$ から $44$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5.5

$- 1$ を $- \sqrt{5}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

ステップ 2.2.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.2.6

最終解は $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 7$ で置換えます。

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 7$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 343$ をかけます。

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

ステップ 5.2.1.3

$- 7$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

ステップ 5.2.1.4

$42$ に $49$ をかけます。

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

ステップ 5.2.1.5

$142$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1372$ と $2058$ をたし算します。

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

ステップ 5.2.2.2

$686$ から $994$ を引きます。

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

ステップ 5.2.2.3

$- 308$ と $154$ をたし算します。

$f'' (- 7) = - 154$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 154$ です。

$- 154$

ステップ 5.3

$f'' (- 7)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

ステップ 6.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

ステップ 6.2.1.4

$42$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

ステップ 6.2.1.5

$142$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 256$ と $672$ をたし算します。

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

ステップ 6.2.2.2

$416$ から $568$ を引きます。

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

ステップ 6.2.2.3

$- 152$ と $154$ をたし算します。

$f'' (- 4) = 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

ステップ 7.2.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

ステップ 7.2.1.4

$42$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

ステップ 7.2.1.5

$142$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 108$ と $378$ をたし算します。

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

ステップ 7.2.2.2

$270$ から $426$ を引きます。

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

ステップ 7.2.2.3

$- 156$ と $154$ をたし算します。

$f'' (- 3) = - 2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7.3

$f'' (- 3)$ が負なので、区間 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ で下に凹します。

ステップ 8

区間 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

ステップ 8.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

ステップ 8.2.1.4

$42$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

ステップ 8.2.1.5

$142$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

ステップ 8.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 154$

ステップ 8.2.2.3

$0$ と $154$ をたし算します。

$f'' (0) = 154$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $154$ です。

$154$

ステップ 8.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例