微分積分例

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.2.4.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ です。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.6

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.8

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = - 2 - 2$

ステップ 5.2.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = - 4$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例