微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

ステップ 1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

ステップ 1.3

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} e^{x} x$

ステップ 5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

ステップ 6

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

ステップ 7

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\infty \cdot \infty$

ステップ 8

無限大掛ける無限大は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例