微分積分例

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

掛け算して分子を有理化します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

${\sqrt{t}}^{2}$ を $t$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.1.5

簡約します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.2

$- 1$ を $t^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.2.2.3

$- 1 t^{4}$ を $- t^{4}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.3

分子と分母を分母の $t$ の最大べき乗で割ると、 $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ です。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.1.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1.3.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.2

$t^{4}$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.2.1

$t^{2}$ を $t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.2.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.1.2.2.4

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

各項を簡約します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.3

$t$ と $t^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.3.1

$t$ を $t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.5

$t$ が $\infty$ に近づくとき、分数 $\frac{1}{t}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.6

$t$ が $\infty$ に近づくとき、分数 $\frac{1}{t^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.2.7

分子が有界でなく、分母が定数に近づくので、分数 $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ は無限大に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$9 t$ と $- t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 9 t}$

ステップ 1.3.2

首位係数が負である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{- \infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\sqrt{t} + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $9 t - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d t} [9 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $9 t$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

ステップ 3.7.3

$9$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

ステップ 3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 t)}$

ステップ 3.8.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 t}$

ステップ 3.9

項を並べ替えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 9}$

ステップ 4

$t^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{t}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

ステップ 5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ を掛けます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

ステップ 5.2

$2 t$ と $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

微分積分 例

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