微分積分例

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 + 2 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

微分します。

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ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $1 - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 - 2 \cos (x)$

ステップ 1.2.3

$0$ から $2 \cos (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 \cos (x)$ です。

$- 2 \cos (x)$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 2 \cos (x) = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 2 \cos (x) = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$\cos (x) = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{π}{2}$ を $f (x) = x + 2 \cos (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + 2 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 2 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

ステップ 3.1.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 3.2

$f (x) = x + 2 \cos (x)$ で代入して $\frac{π}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{π}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1.47079632$ で置換えます。

$f'' (1.47079632) = - 2 \cos (1.47079632)$

ステップ 5.2

最終的な答えは $- 2 \cos (1.47079632)$ です。

$- 2 \cos (1.47079632)$

ステップ 5.3

$1.47079632$ で二次導関数は $- 0.19966683$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{π}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π}{2})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{π}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.67079632$ で置換えます。

$f'' (1.67079632) = - 2 \cos (1.67079632)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $- 2 \cos (1.67079632)$ です。

$- 2 \cos (1.67079632)$

ステップ 6.3

$1.67079632$ で二次導関数は $0.19966683$ です。これは正の値なので、 $(\frac{π}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{π}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ です。

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

ステップ 8

微分積分 例

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