微分積分例

$y = \arctan (\frac{1}{4} x)$ ; $(4, \frac{π}{4})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = \frac{π}{4}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{1}{4} x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{4} x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{4} x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 1.2.6

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 1.3.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}}$

ステップ 1.3.3.3

$4$ と $\frac{x^{2}}{16}$ をまとめます。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}}$

ステップ 1.3.3.4

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.4.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}}$

ステップ 1.3.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

ステップ 1.3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

ステップ 1.3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4}$

ステップ 1.3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 1.3.5.2

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}}$

ステップ 1.3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

ステップ 1.3.5.4

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 16}{4}}$

ステップ 1.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{4}{x^{2} + 16}$

ステップ 1.3.7

$\frac{4}{x^{2} + 16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{x^{2} + 16}$

ステップ 1.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 16}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{16 + 16}$

ステップ 1.5.1.2

$16$ と $16$ をたし算します。

$\frac{4}{32}$

ステップ 1.5.2

$4$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (1)}{32}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{8}$ と与えられた点 $(4, \frac{π}{4})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.5.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 2 + π}{4}$

ステップ 2.3.3.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

ステップ 2.3.3.6

$- 1$ を $- 1 (2) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

ステップ 2.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x}{8} - \frac{2 - π}{4}$

ステップ 2.3.3.8

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{8} x - \frac{2 - π}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例