微分積分例

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${t | t \in ℝ}$

ステップ 2

$f (t)$ は $[0, \frac{π}{2}]$ で連続します。

$f (t)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (t)} \cos (t) d t)$

ステップ 5

$u = \sin (t)$ とします。次に $d u = \cos (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u = \sin (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sin (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

ステップ 5.1.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$\cos (t)$

ステップ 5.2

$u = \sin (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 5.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = \sin (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 5.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$1$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

簡約します。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

ステップ 7.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

ステップ 8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

ステップ 8.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

ステップ 9

分子に分母の逆数を掛けます。

$A (t) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

ステップ 10

$\frac{2}{π}$ に $1$ をかけます。

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

ステップ 11

分配則を当てはめます。

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

ステップ 12

$\frac{2}{π}$ と $e$ をまとめます。

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

ステップ 13

$\frac{2}{π} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{2}{π}$ と $- 1$ をまとめます。

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

ステップ 13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$A (t) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例