微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[1, 8]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

ステップ 7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$8$ および $1$ で $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.4

$2$ を $4$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{3}{4}$ と $16$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.6

$3$ に $16$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7

$48$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.7.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

ステップ 7.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

ステップ 7.2.10

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 7.2.11

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 7.2.12

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

ステップ 7.2.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.13.1

$12$ に $4$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

ステップ 7.2.13.2

$48$ から $3$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

ステップ 8

$8$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

ステップ 9

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{45}{4}$ をかけます。

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

ステップ 9.2

$7$ に $4$ をかけます。

$A (x) = \frac{45}{28}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例