微分積分例

$(2 - t) \sqrt{t}$

ステップ 1

$(2 - t) \sqrt{t}$ を関数で書きます。

$f (t) = (2 - t) \sqrt{t}$

ステップ 2

関数 $F (t)$ は、微分係数 $f (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (t) = \int f (t) d t$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (t) = \int (2 - t) \sqrt{t} d t$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (2 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 5

$(2 - t) t^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 5.2

負をくくり出します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

ステップ 5.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

ステップ 5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

ステップ 5.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 8

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{\frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 11.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (t) = (2 - t) \sqrt{t}$ の不定積分です。

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例