微分積分例

$g (t) = 6 t \ln (t)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t \ln (t)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t \ln (t)]$ です。

$6 \frac{d}{d t} [t \ln (t)]$

ステップ 1.1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (t \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$6 (t \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$t$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$6 (\frac{t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.4.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$6 (\frac{t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.4.2.2

式を書き換えます。

$6 (1 + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (1 + \ln (t) \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.4

$\ln (t)$ に $1$ をかけます。

$6 (1 + \ln (t))$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$6 \cdot 1 + 6 \ln (t)$

ステップ 1.1.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + 6 \ln (t)$

ステップ 1.1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (t) = 6 \ln (t) + 6$

ステップ 1.2

$t$ に関する $g (t)$ の一次導関数は $6 \ln (t) + 6$ です。

$6 \ln (t) + 6$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 \ln (t) + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 \ln (t) + 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$6 \ln (t) = - 6$

ステップ 2.3

$6 \ln (t) = - 6$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 \ln (t) = - 6$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \ln (t)}{6} = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \ln (t)}{6} = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\ln (t)$ を $1$ で割ります。

$\ln (t) = \frac{- 6}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 6$ を $6$ で割ります。

$\ln (t) = - 1$

ステップ 2.4

$t$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (t)} = e^{- 1}$

ステップ 2.5

対数の定義を利用して $\ln (t) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = t$

ステップ 2.6

$t$ について解きます。

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ステップ 2.6.1

方程式を $t = e^{- 1}$ として書き換えます。

$t = e^{- 1}$

ステップ 2.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$t = \frac{1}{e}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (t)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$t \leq 0$

ステップ 3.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $6 t \ln (t)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$t = \frac{1}{e}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{e}$ を $t$ に代入します。

$6 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$6$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{6}{e} \ln (\frac{1}{e})$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{e}$ を $1 e^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{6}{e} \ln (1 e^{- 1})$

ステップ 4.1.2.3

$\ln (1 e^{- 1})$ を $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ に書き換えます。

$\frac{6}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

ステップ 4.1.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $- 1$ を移動します。

$\frac{6}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

ステップ 4.1.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{6}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{e} (\ln (1) - 1)$

ステップ 4.1.2.7

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{6}{e} (0 - 1)$

ステップ 4.1.2.8

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{6}{e} \cdot - 1$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{6}{e} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.9.1

$\frac{6}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot - 1}{e}$

ステップ 4.1.2.9.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6}{e}$

ステップ 4.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{e}$

ステップ 4.2

$t = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $t$ に代入します。

$6 (0) \ln (0)$

ステップ 4.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{e}, - \frac{6}{e})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例