微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$x^{2} - 4 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 4 x + 4$ です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 1$

ステップ 4.1.2.1.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 1$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- 8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{- 8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 1$

ステップ 4.1.2.2.4

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 1$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1$

ステップ 4.1.2.2.6

$\frac{8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 1$

ステップ 4.1.2.2.7

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1}$

ステップ 4.1.2.2.8

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.2.9

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.4.2

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 24 + 24 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.4.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 24 + 24 - 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$8$ から $24$ を引きます。

$\frac{- 16 + 24 - 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$\frac{8 - 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.3

$8$ から $3$ を引きます。

$\frac{5}{3}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(2, \frac{5}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

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