微分積分例

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \frac{π x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π x}{2}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{π}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{2}$ の微分係数は $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{π}{2}$ と $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ をまとめます。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ です。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $π$ で割ります。

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

ステップ 2.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

ステップ 2.3.4

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sec (\frac{π x}{2})$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $\frac{2}{π}$ を掛けます。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 3.2.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.3

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.4.1

$π$ を $π n$ で因数分解します。

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

ステップ 3.2.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

ステップ 3.2.2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$x = 1 + 2 n$

ステップ 3.2.3

$1$ と $2 n$ を並べ替えます。

$x = 2 n + 1$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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