微分積分例

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + x - 2 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$x^{2} + x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} + x - 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} + x - 2$ です。

$x^{2} + x - 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} + x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} + x - 2 = 0$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(1)}^{3}}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

ステップ 4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 + 8$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} - 2 + 8$

ステップ 4.1.2.2.5

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} + 8$

ステップ 4.1.2.2.6

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{6}{6} + 8$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + 8$

ステップ 4.1.2.2.8

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1}$

ステップ 4.1.2.2.9

$\frac{8}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 4.1.2.2.10

$\frac{8}{1}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.2.11

$3 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.2.12

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.2.13

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 3 - 2 \cdot 6 + 8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$- 2$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 + 3 - 12 + 8 \cdot 6}{6}$

ステップ 4.1.2.4.2

$8$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 + 3 - 12 + 48}{6}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5 - 12 + 48}{6}$

ステップ 4.1.2.5.2

$5$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 7 + 48}{6}$

ステップ 4.1.2.5.3

$- 7$ と $48$ をたし算します。

$\frac{41}{6}$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3

${(- 2)}^{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.2

積の法則を $- 1 (2)$ に当てはめます。

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8}{3} + \frac{1 \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.4

$2^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.5

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.3.6.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{8}{3} + 2 - 2 \cdot - 2 + 8$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + 2 + 4 + 8$

ステップ 4.2.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} + 4 + 8$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4 + 8$

ステップ 4.2.2.2.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + 4 + 8$

ステップ 4.2.2.2.4

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 8$

ステップ 4.2.2.2.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.7

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1}$

ステップ 4.2.2.2.8

$\frac{8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.2.2.9

$\frac{8}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 + 6 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.4.3

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 24}{3}$

ステップ 4.2.2.5

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$- 8$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- 2 + 12 + 24}{3}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 2$ と $12$ をたし算します。

$\frac{10 + 24}{3}$

ステップ 4.2.2.5.3

$10$ と $24$ をたし算します。

$\frac{34}{3}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, \frac{41}{6}), (- 2, \frac{34}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例