微分積分例

$y = x^{3} - 12 x^{2} - 60 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 12 x^{2} - 60 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 24 x - 60 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 24 x - 60 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x - 60$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 24 x - 60$ です。

$3 x^{2} - 24 x - 60$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 24 x - 60 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 24 x - 60 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 24 x - 60$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 24 x - 60 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) - 60 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $- 60$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 20$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 8 x - 20) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 8$ です。

$- 10, 2$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 10) (x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 10) (x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x - 10) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 12 x^{2} - 60 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 10$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$10$ を $x$ に代入します。

${(10)}^{3} - 12 {(10)}^{2} - 60 \cdot 10$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$10$ を $3$ 乗します。

$1000 - 12 {(10)}^{2} - 60 \cdot 10$

ステップ 4.1.2.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$1000 - 12 \cdot 100 - 60 \cdot 10$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 12$ に $100$ をかけます。

$1000 - 1200 - 60 \cdot 10$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 60$ に $10$ をかけます。

$1000 - 1200 - 600$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1000$ から $1200$ を引きます。

$- 200 - 600$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 200$ から $600$ を引きます。

$- 800$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 60 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 60 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 12 \cdot 4 - 60 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 12$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 48 - 60 \cdot - 2$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 60$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 - 48 + 120$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 8$ から $48$ を引きます。

$- 56 + 120$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 56$ と $120$ をたし算します。

$64$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(10, - 800), (- 2, 64)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例