微分積分例

$y^{4} = x$ ; $(81, 3)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y^{3} y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y^{3} y' = 1$

ステップ 5

$4 y^{3} y' = 1$ の各項を $4 y^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$4 y^{3} y' = 1$ の各項を $4 y^{3}$ で割ります。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y^{3}}$

ステップ 7

式の中の $x$ を $81$ に、 $y$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 {(3)}^{3}}$

ステップ 8

結果を簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4 \cdot 27}$

ステップ 8.2

$4$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{108}$

微分積分 例

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