微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数が $[1, 4]$ で連続か求めるために、 $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{x}{x + 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.1.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 2}$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 2}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[1, 4]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.2

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.6.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ です。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

微分係数が $(1, 4)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数が $(1, 4)$ で連続か求めるために、 $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.1.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 2}$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 2}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(1, 4)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(1, 4)$ で連続なので、関数は $(1, 4)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[1, 4]$ で連続し、 $(1, 4)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[1, 4]$ で連続し、 $(1, 4)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[1, 4]$ から $f (a)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 8

区間 $[1, 4]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$4$ と $(4) + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

ステップ 8.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

ステップ 8.2.1.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

ステップ 8.2.1.2.3

$2$ を $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

ステップ 8.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

ステップ 8.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

ステップ 8.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (4) = \frac{2}{3}$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 9

$x$ について $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ です。

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ステップ 9.1

各項を因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

ステップ 9.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

ステップ 9.1.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

ステップ 9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

ステップ 9.1.5

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

ステップ 9.1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 9.1.7

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 9.1.7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.1.7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

ステップ 9.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 9.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

${(x + 2)}^{2}, 9$

ステップ 9.2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 9.2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 9.2.4

$9$ には $3$ と $3$ の因数があります。

$3 \cdot 3$

ステップ 9.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

ステップ 9.2.6

$x + 2$ の因数は $(x + 2) \cdot (x + 2)$ です。これは $x + 2$ を $2$ 倍したものです。

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ は $2$ 回発生します。

ステップ 9.2.7

${(x + 2)}^{2}$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${(x + 2)}^{2}$

ステップ 9.2.8

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$9 {(x + 2)}^{2}$

ステップ 9.3

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ の各項に $9 {(x + 2)}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ の各項に $9 {(x + 2)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.2.2

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$9$ と $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.2.2.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.2.3

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.2.3.2

式を書き換えます。

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1.1

$9$ を $9 {(x + 2)}^{2}$ で因数分解します。

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

ステップ 9.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

ステップ 9.3.3.1.3

式を書き換えます。

$18 = {(x + 2)}^{2}$

ステップ 9.4

方程式を解きます。

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ステップ 9.4.1

方程式を ${(x + 2)}^{2} = 18$ として書き換えます。

${(x + 2)}^{2} = 18$

ステップ 9.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

ステップ 9.4.3

$\pm \sqrt{18}$ を簡約します。

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ステップ 9.4.3.1

$18$ を $3^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

ステップ 9.4.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

ステップ 9.4.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

ステップ 9.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

ステップ 9.4.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

ステップ 9.4.4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

ステップ 9.4.4.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

ステップ 9.4.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

ステップ 10

$x = 3 \sqrt{2} - 2$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 4$ を通る線と平行です。

$x = 3 \sqrt{2} - 2$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 4$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$ において求められた接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 4$ を通る線と平行です。

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$ における接線があり、端点 $a = 1$ と $b = 4$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例