微分積分例

$y = \ln (9 + \ln (x))$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 9 + \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $9 + \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $9 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 1.2.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{9 + \ln (x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

ステップ 1.5.3

$x$ を $x \ln (x) + 9 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$x$ を $x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

ステップ 1.5.3.2

$x$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

ステップ 1.5.3.3

$x$ を $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ を ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x (\ln (x) + 9)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x (\ln (x) + 9)$ で置き換えます。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x) + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

総和則では、 $\ln (x) + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

微分します。

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ステップ 2.6.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.2

項を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.2.2

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.3.1

共通因数を約分します。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.2.3.2

式を書き換えます。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

ステップ 2.6.4

式を簡約します。

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ステップ 2.6.4.1

$\ln (x) + 9$ に $1$ をかけます。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

ステップ 2.6.4.2

$1$ と $9$ をたし算します。

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

ステップ 2.7.2

積の法則を $x (\ln (x) + 9)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

ステップ 2.7.3

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ の因数を並べ替えます。

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.4

分配則を当てはめます。

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.5

$- 1$ に $10$ をかけます。

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.6

$- 10 - \ln (x)$ に $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.7

$- 1$ を $- 10 - \ln (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.7.1

$- 10$ を $- 1 (10)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.7.2

$- 1$ を $- \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.7.3

$- 1$ を $- 1 (10) - (\ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.7.4

$- 1 (10 + \ln (x))$ を $- (10 + \ln (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

微分積分 例

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