微分積分例

$f (x) = x (6 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 6 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.6.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + (6 - x) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.8.1

$6 - x$ に $1$ をかけます。

$- x + 6 - x$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = - 2 x + 6$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 6$ です。

$- 2 x + 6$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 6 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- 2 x = - 6$

ステップ 1.2.3

$- 2 x = - 6$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 2 x = - 6$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 6$ を $- 2$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x (6 - x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$(3) (6 - (3))$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (6 - 3)$

ステップ 1.4.1.2.2

$6$ から $3$ を引きます。

$3 \cdot 3$

ステップ 1.4.1.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(3, 9)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $- 2 x + 6$ の区間 $(- \infty, 3)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 6$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 6$

ステップ 2.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f' (0) = 6$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.3

一次導関数 $- 2 x + 6$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 2 \cdot 6 + 6$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = - 12 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$- 12$ と $6$ をたし算します。

$f' (6) = - 6$

ステップ 2.3.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 2.4

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 3$ は極大値です。

$x = 3$ は極大値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, 9)$

絶対最小値はありません

ステップ 4

微分積分 例

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