微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

ステップ 2.2.2

まとめる。

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

ステップ 2.2.3

$7^{n + 1}$ と $7^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$7^{n}$ を $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ で因数分解します。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$7^{n}$ を $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

ステップ 2.2.4

$4^{n + 3}$ と $4^{n + 1 + 3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$4^{n + 1 + 3}$ を $7 \cdot 4^{n + 3}$ で因数分解します。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

ステップ 2.2.4.2.4

$7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ を $1$ で割ります。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

ステップ 2.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$1$ と $3$ をたし算します。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

ステップ 2.2.5.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

ステップ 2.2.6

$n + 3 - n - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.6.1

$n$ から $n$ を引きます。

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

ステップ 2.2.6.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

ステップ 2.2.7

$3$ から $4$ を引きます。

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

ステップ 2.2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 2.2.9

$7$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$r = \frac{7}{4}$

ステップ 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.

微分積分 例

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