微分積分例

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 1.1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.4

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.10.2

$2$ から $3$ を引きます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.12

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.14

指数を足して $x^{- \frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.14.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$0 - - \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.14.3

公分母の分子をまとめます。

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.14.4

$- 4$ から $1$ を引きます。

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.14.5

分数の前に負数を移動させます。

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$0 - - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.16

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.17

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 1.1.2.18

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

ステップ 1.1.2.19

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.1.3

$0$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ です。

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$

ステップ 3.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{5}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{5}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{5}}$ を $x^{\frac{5}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{5}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{5} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{5} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

$27 x^{5} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$27 x^{5} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x^{5} = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 3.3.3.3

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 3.3.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$1 - \frac{1}{{(0)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$1 - \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{0^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - \frac{1}{0}$

ステップ 4.1.2.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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