微分積分例

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ です。

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.3.3

${(x^{2} - 9)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 9$ とします。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 9$ で置き換えます。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2

$x^{2} - 9$ を ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.5.2.1

$x^{2} - 9$ を ${(x^{2} - 9)}^{2}$ で因数分解します。

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.2

$x^{2} - 9$ を $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ で因数分解します。

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.5.2.3

$x^{2} - 9$ を $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ で因数分解します。

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

ステップ 1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

$x^{2} - 9$ を ${(x^{2} - 9)}^{4}$ で因数分解します。

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.6.2

共通因数を約分します。

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.6.3

式を書き換えます。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.7

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.9

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

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ステップ 1.1.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.11

$x$ を $1$ 乗します。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.16

$- 18$ と $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.18

簡約します。

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ステップ 1.1.18.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.18.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.18.2.1

$- 3$ に $18$ をかけます。

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.1.18.2.2

$18$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ です。

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $162$ を足します。

$- 54 x^{2} = 162$

ステップ 2.3.2

$- 54 x^{2} = 162$ の各項を $- 54$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 54 x^{2} = 162$ の各項を $- 54$ で割ります。

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 54$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$162$ を $- 54$ で割ります。

$x^{2} = - 3$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{3}$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

ステップ 3.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

ステップ 3.2.1.3

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

ステップ 3.2.3

${(x + 3)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.1

${(x + 3)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{3} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ について ${(x + 3)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2.3.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.2.4

${(x - 3)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.1

${(x - 3)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{3} = 0$

ステップ 3.2.4.2

$x$ について ${(x - 3)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.4.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.2.5

最終解は ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 3, x = 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

ステップ 4.1.2.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$9$ から $9$ を引きます。

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{18 (3)}{0}$

ステップ 4.2.2.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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