微分積分例

$x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 128 x^{2}$ の微分係数は $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 128$ をかけます。

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4096$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4096$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 256 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 256 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 256 x$ です。

$4 x^{3} - 256 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 256 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 256 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 256 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $- 256 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

ステップ 2.2.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 8$ です。

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 2.6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 2.7

最終解は $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8, 8$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 128 \cdot 0 + 4096$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 128$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 4096$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 4096$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $4096$ をたし算します。

$4096$

ステップ 4.2

$x = - 8$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ を $x$ に代入します。

${(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 8$ を $4$ 乗します。

$4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 8$ を $2$ 乗します。

$4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 128$ に $64$ をかけます。

$4096 - 8192 + 4096$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$4096$ から $8192$ を引きます。

$- 4096 + 4096$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 4096$ と $4096$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

$x = 8$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$8$ を $x$ に代入します。

${(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$8$ を $4$ 乗します。

$4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

ステップ 4.3.2.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 128$ に $64$ をかけます。

$4096 - 8192 + 4096$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$4096$ から $8192$ を引きます。

$- 4096 + 4096$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 4096$ と $4096$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 4096), (- 8, 0), (8, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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