微分積分例

$x^{- 3} \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.3.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.4

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 1.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.1.5

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

項を並べ替えます。

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.6.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.6.2.4

$\ln (x)$ と $\frac{3}{x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.1.6.2.5

$3$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ です。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{4}}$ を引きます。

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$- 3 \ln (x) = - 1$

ステップ 2.4

$- 3 \ln (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$- 3 \ln (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.4.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 2.5

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.6

対数の定義を利用して $\ln (x) = \frac{1}{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{3}} = x$

ステップ 2.7

方程式を $x = e^{\frac{1}{3}}$ として書き換えます。

$x = e^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{4} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.3

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{- 3} \ln (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = e^{\frac{1}{3}}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$e^{\frac{1}{3}}$ を $x$ に代入します。

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.3

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{1}{3}$ を移動します。

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

ステップ 4.1.2.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{e \cdot 3}$

ステップ 4.1.2.7

$3$ を $e$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3 e}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

ステップ 4.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

ステップ 5

微分積分 例

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