微分積分例

$- (x + 1) \sin (5 x)$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int (x + 1) \sin (5 x) d x$

ステップ 2

$u = x + 1$ と $d v = \sin (5 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x)$

ステップ 3

$- \frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\cos (5 x)$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

ステップ 4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + 1 (\frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

ステップ 4.3

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x)$

ステップ 5

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 5.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (u) \frac{1}{5} d u)$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \frac{\cos (u)}{5} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5 \cdot 5} \int \cos (u) d u)$

ステップ 8.2

$5$ に $5$ をかけます。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} \int \cos (u) d u)$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$

ステップ 10

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$ を $- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$ に書き換えます。

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (5 x)}{25}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$- - \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- - \frac{\cos (5 x) x}{5}$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 12.2.1.2

$\frac{\cos (5 x) x}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 12.2.2

$- - \frac{\cos (5 x)}{5}$ を掛けます。

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ステップ 12.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + 1 \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 12.2.2.2

$\frac{\cos (5 x)}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 12.3

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{5} \cos (5 x) - \frac{1}{25} \sin (5 x) + C$

微分積分 例

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