微分積分例

$y = - x^{3} + 12 x - 16$

ステップ 1

$y = - x^{3} + 12 x - 16$ を関数で書きます。

$f (x) = - x^{3} + 12 x - 16$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- x^{3} + 12 x - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 12 + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 12 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$- 3 x^{2} + 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 2.2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 x + 0$

ステップ 2.2.3.2

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 6 x$ です。

$- 6 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x = 0$

ステップ 3.2

$- 6 x = 0$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 6 x = 0$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{- 6}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ を $- 6$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = - x^{3} + 12 x - 16$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - {(0)}^{3} + 12 (0) - 16$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 0 + 12 (0) - 16$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 12 (0) - 16$

ステップ 4.1.2.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 16$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 16$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$f (0) = - 16$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 4.2

$f (x) = - x^{3} + 12 x - 16$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, - 16)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, - 16)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 6 \cdot - 0.1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 6$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.6$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - 6 \cdot 0.1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 6$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.6$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, - 16)$ です。

$(0, - 16)$

ステップ 9

微分積分 例

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