微分積分例

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

微分します。

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ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.2.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.2.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.2.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + 0$

ステップ 2.2.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$1 + x^{- 2}$

ステップ 2.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x^{2}} + 1$ です。

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = - x^{2}$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $- x^{2} = 1$ として書き換えます。

$- x^{2} = 1$

ステップ 3.5.2

$- x^{2} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- x^{2} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - 1$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 3.5.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 3.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 3.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 3.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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