微分積分例

$20 e^{x} - e^{2 x}$

ステップ 1

$20 e^{x} - e^{2 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $20 e^{x} - e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 e^{x}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$20 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$20 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$20 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$20 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$20 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.1.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$20 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 20 e^{x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $20 e^{x} - 2 e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 e^{x}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{2 x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$20 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$20 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$20 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.2.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$20 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.2.3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 e^{x} - 4 e^{2 x}$ です。

$20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$20 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$20 u - 4 u^{2} = 0$

ステップ 3.2.3

$4 u$ を $20 u - 4 u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.3.1

$4 u$ を $20 u$ で因数分解します。

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$4 u$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

ステップ 3.2.3.3

$4 u$ を $4 u (5) + 4 u (- u)$ で因数分解します。

$4 u (5 - u) = 0$

ステップ 3.2.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$5 - e^{x} = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$5 - e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$5 - e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$5 - e^{x} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $5 - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- e^{x} = - 5$

ステップ 3.5.2.2

$- e^{x} = - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$- e^{x} = - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$e^{x} = 5$

ステップ 3.5.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

ステップ 3.5.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.5.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (5)$

ステップ 3.5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (5)$

ステップ 3.5.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (5)$

ステップ 3.6

最終解は $4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (5)$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\ln (5)$ を $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\ln (5)$ で置換えます。

$f (\ln (5)) = 20 e^{\ln (5)} - e^{2 (\ln (5))}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (5)) = 20 \cdot 5 - e^{2 (\ln (5))}$

ステップ 4.1.2.1.2

$20$ に $5$ をかけます。

$f (\ln (5)) = 100 - e^{2 (\ln (5))}$

ステップ 4.1.2.1.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (5))$ を簡約します。

$f (\ln (5)) = 100 - e^{\ln (5^{2})}$

ステップ 4.1.2.1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (5)) = 100 - 5^{2}$

ステップ 4.1.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\ln (5)) = 100 - 1 \cdot 25$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 1$ に $25$ をかけます。

$f (\ln (5)) = 100 - 25$

ステップ 4.1.2.2

$100$ から $25$ を引きます。

$f (\ln (5)) = 75$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$75$

ステップ 4.2

$f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ で代入して $\ln (5)$ 求めた点は、 $(\ln (5), 75)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\ln (5), 75)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \ln (5)) \cup (\ln (5), \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \ln (5))$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.50943791$ で置換えます。

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{2 (1.50943791)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $1.50943791$ をかけます。

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$ です。

$20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

ステップ 6.3

$1.50943791$ で二次導関数は $8.61066649$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, \ln (5))$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, \ln (5))$ で増加

ステップ 7

区間 $(\ln (5), \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.70943791$ で置換えます。

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{2 (1.70943791)}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $1.70943791$ をかけます。

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$ です。

$20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

ステップ 7.3

$1.70943791$ で二次導関数は $- 11.623184$ です。これは負の値なので、 $(\ln (5), \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\ln (5), \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\ln (5), 75)$ です。

$(\ln (5), 75)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例