微分積分例

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$

ステップ 1

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 2 x + 1 + 0$

ステップ 2.1.4.3

$x^{2} - 2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0$

ステップ 2.2.3.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x - 2$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x - 2$ です。

$2 x - 2$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 3.3

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

括弧を削除します。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} - {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 \cdot 1 + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.3.2

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.3.3

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 1 + 1$

ステップ 4.1.2.3.4

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} + 1$

ステップ 4.1.2.3.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.3.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + 1$

ステップ 4.1.2.3.7

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.3.8

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.3.9

$\frac{1}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 3 + 3 + 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 3 + 3 + 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 2 + 3 + 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.3

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1 + 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = \frac{4}{3}$

ステップ 4.1.2.6

最終的な答えは $\frac{4}{3}$ です。

$\frac{4}{3}$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, \frac{4}{3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, \frac{4}{3})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.9$ で置換えます。

$f'' (0.9) = 2 (0.9) - 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $0.9$ をかけます。

$f'' (0.9) = 1.8 - 2$

ステップ 6.2.2

$1.8$ から $2$ を引きます。

$f'' (0.9) = - 0.2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.2$ です。

$- 0.2$

ステップ 6.3

$0.9$ で二次導関数は $- 0.2$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 2 (1.1) - 2$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = 2.2 - 2$

ステップ 7.2.2

$2.2$ から $2$ を引きます。

$f'' (1.1) = 0.2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.2$ です。

$0.2$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $0.2$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(1, \frac{4}{3})$ です。

$(1, \frac{4}{3})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例