微分積分例

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$7 \sqrt{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sqrt{2} \cos (x)$ の微分係数は $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 1.3.4

$2$ に $7$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 \sqrt{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 7 \sqrt{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ の微分係数は $- 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.3.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.3.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.3.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) + 14 (- \sin^{2} (x))$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $14$ をかけます。

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) - 14 \sin^{2} (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 4

$7 \sin (x)$ を $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$7 \sin (x)$ を $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$7 \sin (x)$ を $14 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

ステップ 4.3

$7 \sin (x)$ を $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ で因数分解します。

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 6

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 6.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 7

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を足します。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 7.2.2

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.6

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 7.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 7.2.6.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 7.2.7

方程式 $x = \frac{π}{4}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

ステップ 8

最終解は $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, π, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 7 \sqrt{2} \cos (0) + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10.1.2

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1^{2} - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10.1.5

$14$ に $1$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 10.1.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

ステップ 10.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

ステップ 10.1.8

$- 14$ に $0$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} + 14 + 0$

ステップ 10.2

$- 7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$14 - 7 \sqrt{2}$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 12.2.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 12.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

ステップ 12.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

ステップ 12.2.1.5

$7$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 0$

ステップ 12.2.2

$7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 7 \sqrt{2}$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $7 \sqrt{2}$ です。

$y = 7 \sqrt{2}$

ステップ 13

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 7 \sqrt{2} \cos (π) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.4

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- \cos (0))}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.9

$14$ に $1$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (π)$

ステップ 14.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

ステップ 14.1.11

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

ステップ 14.1.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

ステップ 14.1.13

$- 14$ に $0$ をかけます。

$7 \sqrt{2} + 14 + 0$

ステップ 14.2

$7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$14 + 7 \sqrt{2}$

ステップ 15

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 16

$x = π$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 16.2.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 16.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 16.2.1.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

ステップ 16.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

ステップ 16.2.1.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

ステップ 16.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

ステップ 16.2.1.8

$7$ に $0$ をかけます。

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 0$

ステップ 16.2.2

$- 7 \sqrt{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (π) = - 7 \sqrt{2}$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 7 \sqrt{2}$ です。

$y = - 7 \sqrt{2}$

ステップ 17

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $- 7$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2.2

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.4

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.5

$- 14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.7

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8.4.2

式を書き換えます。

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.8.5

指数を求めます。

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.10.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.10.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.10.3

共通因数を約分します。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.10.4

式を書き換えます。

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.11

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.12

$7$ に $2$ をかけます。

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.13

$14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 18.1.14

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 + 7 - 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 18.1.15

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.16.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.16.4.1

共通因数を約分します。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16.4.2

式を書き換えます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

ステップ 18.1.16.5

指数を求めます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 18.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

ステップ 18.1.18

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.18.1

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

ステップ 18.1.18.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 18.1.18.3

共通因数を約分します。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 18.1.18.4

式を書き換えます。

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

ステップ 18.1.19

$- 7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

ステップ 18.1.20

$- 7$ に $2$ をかけます。

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

ステップ 18.1.21

$- 14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 7 - 7$

ステップ 18.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$0 - 7$

ステップ 18.2.2

$0$ から $7$ を引きます。

$- 7$

ステップ 19

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 20

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2

$7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2.2

$\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.4

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.5

$14$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.7

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.8.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

ステップ 20.2.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

ステップ 20.2.1.10

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.10.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

ステップ 20.2.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 20.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 20.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

ステップ 20.2.1.11

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

ステップ 20.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 20.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 20.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

ステップ 20.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

ステップ 20.2.5.2

$14$ と $7$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{21}{2}$

ステップ 20.2.6

最終的な答えは $\frac{21}{2}$ です。

$y = \frac{21}{2}$

ステップ 21

$x = \frac{7 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $- 7$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3.2

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.5

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.6

$- 14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.8

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.9

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10.4.2

式を書き換えます。

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.10.5

指数を求めます。

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.12.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.12.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.12.3

共通因数を約分します。

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.12.4

式を書き換えます。

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.13

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.14

$7$ に $2$ をかけます。

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.15

$14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 22.1.16

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 7 + 7 - 14 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

ステップ 22.1.17

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 7 + 7 - 14 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 22.1.18

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.18.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 22.1.18.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 22.1.19

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 7 + 7 - 14 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 22.1.20

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.21.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.21.4.1

共通因数を約分します。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21.4.2

式を書き換えます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

ステップ 22.1.21.5

指数を求めます。

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 22.1.22

$2$ を $2$ 乗します。

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

ステップ 22.1.23

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.23.1

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

ステップ 22.1.23.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 22.1.23.3

共通因数を約分します。

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 22.1.23.4

式を書き換えます。

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

ステップ 22.1.24

$- 7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

ステップ 22.1.25

$- 7$ に $2$ をかけます。

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

ステップ 22.1.26

$- 14$ を $2$ で割ります。

$- 7 + 7 - 7$

ステップ 22.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$0 - 7$

ステップ 22.2.2

$0$ から $7$ を引きます。

$- 7$

ステップ 23

$x = \frac{7 π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{7 π}{4}$ は極大値です

ステップ 24

$x = \frac{7 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3

$7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $7$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3.2

$\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.4.5

指数を求めます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.5

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.6

$14$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 24.2.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

ステップ 24.2.1.8

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 24.2.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.9.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 24.2.1.9.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 24.2.1.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 24.2.1.11

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.12.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.12.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.12.5

指数を求めます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

ステップ 24.2.1.13

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

ステップ 24.2.1.14

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.14.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

ステップ 24.2.1.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1.14.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 24.2.1.14.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 24.2.1.14.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

ステップ 24.2.1.15

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

ステップ 24.2.2

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 24.2.3

$7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 24.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

ステップ 24.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.5.1

$7$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

ステップ 24.2.5.2

$14$ と $7$ をたし算します。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{21}{2}$

ステップ 24.2.6

最終的な答えは $\frac{21}{2}$ です。

$y = \frac{21}{2}$

ステップ 25

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ の極値です。

$(0, 7 \sqrt{2})$ は極小値です

$(π, - 7 \sqrt{2})$ は極小値です

$(\frac{π}{4}, \frac{21}{2})$ は極大値です

$(\frac{7 π}{4}, \frac{21}{2})$ は極大値です

ステップ 26

微分積分 例

微分積分例