微分積分例

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 x^{2}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $64$ をかけます。

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{128}{x}$ の微分係数は $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 1$ に $128$ をかけます。

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

ステップ 1.1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.5.2.1

$- 128$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

ステップ 1.1.1.5.2.3

$128 x - \frac{128}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [128 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $128 x$ の微分係数は $128 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.2.3

$128$ に $1$ をかけます。

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{128}{x^{2}}$ の微分係数は $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.1.2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.1.2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.1.2.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.1.2.3.10

$- 2$ に $- 128$ をかけます。

$128 + 256 x^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$256$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{256}{x^{3}} + 128$ です。

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $128$ を引きます。

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 1.2.4

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$256 = - 128 x^{3}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $- 128 x^{3} = 256$ として書き換えます。

$- 128 x^{3} = 256$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $256$ を引きます。

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

ステップ 1.2.5.3

$- 128$ を $- 128 x^{3} - 256$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.5.3.1

$- 128$ を $- 128 x^{3}$ で因数分解します。

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

ステップ 1.2.5.3.2

$- 128$ を $- 256$ で因数分解します。

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

ステップ 1.2.5.3.3

$- 128$ を $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ で因数分解します。

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

ステップ 1.2.5.4

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$ の各項を $- 128$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.1

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$ の各項を $- 128$ で割ります。

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

ステップ 1.2.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.2.1

$- 128$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

ステップ 1.2.5.4.2.1.2

$x^{3} + 2$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

ステップ 1.2.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.3.1

$0$ を $- 128$ で割ります。

$x^{3} + 2 = 0$

ステップ 1.2.5.5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{3} = - 2$

ステップ 1.2.5.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{- 2}$

ステップ 1.2.5.7

$\sqrt[3]{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.7.1

$- 2$ を ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.7.1.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

ステップ 1.2.5.7.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.7.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

ステップ 1.2.5.7.3

$- 1 \sqrt[3]{2}$ を $- \sqrt[3]{2}$ に書き換えます。

$x = - \sqrt[3]{2}$

ステップ 2

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{128}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

ステップ 4.2.1.2

$256$ を $- 64$ で割ります。

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

ステップ 4.2.2

$- 4$ と $128$ をたし算します。

$f'' (- 4) = 124$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $124$ です。

$124$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

ステップ 5.2.1.2

$256$ を $- 1$ で割ります。

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

ステップ 5.2.2

$- 256$ と $128$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 128$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 128$ です。

$- 128$

ステップ 5.3

$f'' (- 1)$ が負なので、区間 $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

ステップ 6.2.1.2

$256$ を $8$ で割ります。

$f'' (2) = 32 + 128$

ステップ 6.2.2

$32$ と $128$ をたし算します。

$f'' (2) = 160$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $160$ です。

$160$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例