微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.4.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 1.1.13

$\ln (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3

両辺に $2 x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.1.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

ステップ 2.4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

ステップ 2.4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (x) = - 2$

ステップ 2.5

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

ステップ 2.6

対数の定義を利用して $\ln (x) = - 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2} = x$

ステップ 2.7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

方程式を $x = e^{- 2}$ として書き換えます。

$x = e^{- 2}$

ステップ 2.7.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

ステップ 3.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

ステップ 3.1.4

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 3.4

$\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x} = 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.2.1.4

簡約します。

$4 x = 0^{2}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x = 0$

ステップ 3.5.3

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3.6

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 3.7

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.8

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{x} \ln (x)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{1}{e^{2}}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{1}{e^{2}}$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

括弧を削除します。

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 4.1.2.2

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 4.1.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 4.1.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 4.1.2.5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{2}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

ステップ 4.1.2.6

$- 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 2})$ を展開します。

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

ステップ 4.1.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.8

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{1}{e}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{e}$

ステップ 4.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{0} \ln (0)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

括弧を削除します。

$\sqrt{0} \ln (0)$

ステップ 4.2.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例