微分積分例

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} \ln (3 x) + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.6

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.7

$\frac{1}{3 x}$ と $3$ をまとめます。

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.8.1

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.8.2

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.9

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.10.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.10.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.2.10.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x + \ln (3 x) (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$x + \ln (3 x) (2 x)$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x \ln (3 x) + x$ です。

$2 x \ln (3 x) + x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x \ln (3 x) + x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 x \ln (3 x) = - x$

ステップ 2.3

$2 x \ln (3 x) = - x$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x \ln (3 x) = - x$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 2.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.5

対数の定義を利用して $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

ステップ 2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 2.6.1

方程式を $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ として書き換えます。

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.6.2

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

ステップ 2.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

ステップ 2.6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln (3 x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x \leq 0$

ステップ 3.2

$3 x \leq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 x \leq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{0}{3}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x \leq 0$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} \ln (3 x) + 6$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.1.2

積の法則を $3 e^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.3.2

${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.3.3

簡約します。

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

ステップ 4.1.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

ステップ 4.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

ステップ 4.1.2.5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

ステップ 4.1.2.6

$- \frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ を展開します。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

ステップ 4.1.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

ステップ 4.1.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.9.1

$\frac{1}{9 e}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

ステップ 4.1.2.9.2

$2$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{18 e} + 6$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \ln (3 (0)) + 6$

ステップ 4.2.2.1.2

$\ln (3 (0))$ を $\ln (3) + \ln (0)$ に書き換えます。

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

ステップ 4.2.2.1.3

0の自然対数は未定義です。

未定義

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

ステップ 4.2.2.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

ステップ 5

微分積分 例

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