微分積分例

$f (x) = x^{5} e^{- 7 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = e^{- 7 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x$ とします。

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$x^{5} (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{5} (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$x^{5} (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 7$ を $e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$x^{5} (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.3.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} (5 x^{4})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$- 7 e^{- 7 x} x^{5} + 5 e^{- 7 x} x^{4}$

ステップ 1.1.4.2

$- 7 e^{- 7 x} x^{5} + 5 e^{- 7 x} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x}$ です。

$- 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x} = 0$

ステップ 2.2

$x^{4} e^{- 7 x}$ を $- 7 x^{5} e^{- 7 x} + 5 x^{4} e^{- 7 x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4} e^{- 7 x}$ を $- 7 x^{5} e^{- 7 x}$ で因数分解します。

$x^{4} e^{- 7 x} (- 7 x) + 5 x^{4} e^{- 7 x} = 0$

ステップ 2.2.2

$x^{4} e^{- 7 x}$ を $5 x^{4} e^{- 7 x}$ で因数分解します。

$x^{4} e^{- 7 x} (- 7 x) + x^{4} e^{- 7 x} (5) = 0$

ステップ 2.2.3

$x^{4} e^{- 7 x}$ を $x^{4} e^{- 7 x} (- 7 x) + x^{4} e^{- 7 x} (5)$ で因数分解します。

$x^{4} e^{- 7 x} (- 7 x + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$e^{- 7 x} = 0$

$- 7 x + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$e^{- 7 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$e^{- 7 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 7 x} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $e^{- 7 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 7 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.5.2.3

$e^{- 7 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.6

$- 7 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$- 7 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$- 7 x + 5 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $- 7 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 7 x = - 5$

ステップ 2.6.2.2

$- 7 x = - 5$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.1

$- 7 x = - 5$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{5}{7}$

ステップ 2.7

最終解は $x^{4} e^{- 7 x} (- 7 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{5}{7}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{5} e^{- 7 x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{5} e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 4.1.2.2

$- 7$ に $0$ をかけます。

$0 e^{0}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = \frac{5}{7}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{5}{7}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{5}{7})}^{5} e^{- 7 (\frac{5}{7})}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{5}{7}$ に当てはめます。

$\frac{5^{5}}{7^{5}} e^{- 7 (\frac{5}{7})}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$\frac{3125}{7^{5}} e^{- 7 (\frac{5}{7})}$

ステップ 4.2.2.1.3

$7$ を $5$ 乗します。

$\frac{3125}{16807} e^{- 7 (\frac{5}{7})}$

ステップ 4.2.2.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\frac{3125}{16807} e^{7 (- 1) \frac{5}{7}}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3125}{16807} e^{7 \cdot - 1 \frac{5}{7}}$

ステップ 4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3125}{16807} e^{- 1 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3125}{16807} e^{- 5}$

ステップ 4.2.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{3125}{16807} \cdot \frac{1}{e^{5}}$

ステップ 4.2.2.5

まとめる。

$\frac{3125 \cdot 1}{16807 e^{5}}$

ステップ 4.2.2.6

$3125$ に $1$ をかけます。

$\frac{3125}{16807 e^{5}}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\frac{5}{7}, \frac{3125}{16807 e^{5}})$

ステップ 5

微分積分 例

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