微分積分例

$q = \tan (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$

ステップ 1

$f (q) = \tan (q)$ および $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ は $f' (g (q)) g' (q)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

ステップ 2

$\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ に $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ をかけます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}} \cdot \frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}]$

ステップ 3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ に $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ をかけます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8} \sqrt{t + 8}}]$

ステップ 3.2

$\sqrt{t + 8}$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} \sqrt{t + 8}}]$

ステップ 3.3

$\sqrt{t + 8}$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} {\sqrt{t + 8}}^{1}}]$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1 + 1}}]$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{2}}]$

ステップ 3.6

${\sqrt{t + 8}}^{2}$ を $t + 8$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t + 8}$ を ${(t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{({(t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

ステップ 3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

ステップ 3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

ステップ 3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

ステップ 3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{1}}]$

ステップ 3.6.5

簡約します。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}]$

ステップ 4

$\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ は $q$ について定数なので、 $q$ について $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ の微分係数は $0$ です。

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \cdot 0$

ステップ 5

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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