微分積分例

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

ステップ 1

この微分係数は連鎖律を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

括弧を削除します。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

ステップ 2.2

$\log (1 - σ x^{j} θ)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

ステップ 2.3

総和則では、 $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ です。

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \log (σ) x^{j} θ$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ の微分係数は $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ です。

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

ステップ 3.2

$n = j$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

ステップ 4

$\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- \log (1 - σ θ x^{j})$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ の微分係数は $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ です。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

ステップ 4.2

総和則では、 $1 - y^{j}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ です。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

ステップ 4.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

ステップ 4.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{j}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ です。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

ステップ 4.5

$n = j$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

ステップ 4.6

$0$ から $j y^{j - 1}$ を引きます。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

ステップ 4.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

ステップ 4.8

$\log (1 - σ θ x^{j})$ に $1$ をかけます。

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

ステップ 5.2

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ の因数を並べ替えます。

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$

微分積分 例

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