微分積分例

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

ステップ 1

総和則では、 $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ です。

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- y^{j} \log (σ) θ$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ の微分係数は $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

ステップ 2.2

$n = j$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- (1 - y^{j})$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ の微分係数は $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - σ x^{j} θ$ とします。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\log (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (10)}$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 - σ x^{j} θ$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

ステップ 3.5

$- σ θ$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- σ x^{j} θ$ の微分係数は $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ です。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

ステップ 3.6

$n = j$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

ステップ 3.7

$0$ から $σ θ j x^{j - 1}$ を引きます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

ステップ 3.8

$\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ と $σ$ をまとめます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

ステップ 3.9

$θ$ と $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ をまとめます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

ステップ 3.10

$j$ と $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ をまとめます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

ステップ 3.11

$x^{j - 1}$ と $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ をまとめます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

ステップ 3.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

ステップ 3.13

$1 - y^{j}$ に $1$ をかけます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

ステップ 4.2

$\ln (10)$ に $1$ をかけます。

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

微分積分 例

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