微分積分例

$x^{2} \ln (x)$

ステップ 1

$x^{2} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x \ln (x) + x$ です。

$2 x \ln (x) + x$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x \ln (x) + x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x \ln (x) + x = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 x \ln (x) = - x$

ステップ 3.3

$2 x \ln (x) = - x$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 3.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{1}{2}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 5.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

ステップ 7

定義域にない区間を除外します。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 8

区間 $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.30326533$ で置換えます。

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

括弧を削除します。

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

ステップ 8.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ に $0.30326533$ をかけます。

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

ステップ 8.2.2.2

対数の中の $0.60653067$ を移動させて $0.60653067 \ln (0.30326533)$ を簡約します。

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

ステップ 8.2.2.3

$0.30326533$ を $0.60653067$ 乗します。

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

ステップ 8.2.3

$\ln (0.48496413)$ と $0.30326533$ をたし算します。

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.42041501$ です。

$- 0.42041501$

ステップ 8.3

$x = 0.30326533$ で微分係数は $- 0.42041501$ です。これは負の値なので、関数は $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ で減少

ステップ 9

定義域にない区間を除外します。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

ステップ 10

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $1.60653067$ で置換えます。

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

括弧を削除します。

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

ステップ 10.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ に $1.60653067$ をかけます。

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

ステップ 10.2.2.2

対数の中の $3.21306134$ を移動させて $3.21306134 \ln (1.60653067)$ を簡約します。

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

ステップ 10.2.2.3

$1.60653067$ を $3.21306134$ 乗します。

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

ステップ 10.2.3

$\ln (4.58705612)$ と $1.60653067$ をたし算します。

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $3.12976912$ です。

$3.12976912$

ステップ 10.3

$x = 1.60653067$ で微分係数は $3.12976912$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ で増加

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ で増加

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

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